エネルギーと仕事
日常でも「エネルギーを大切に使おう」などとよく聞くエネルギー。しかし実際エネルギーとはなんなのか説明してと言われたら案外難しい。 ここで力学でのエネルギーについてまとめてみよう。 物理学では”エネルギーとは仕事をできる量。”の様に定義される。物体のもつエネルギーの変化の大きさはその物体に加えた仕事に等しい。 物体に保存力$F(x)$を加えて$x_1$から$x_2$まで移動させた時、エネルギーの変化量$\Delta E$および仕事$w$は次に様に書き表される。
\begin{equation} \Delta E = w = \int_{x_1}^{x_2} F(x)dx \end{equation}いきなり積分記号が出てきたからって焦らなくて大丈夫。保存力が常に一定の場合($F(x)=F$)、積分を計算すると、 $w=F(x_2-x_1)=F\Delta x$と、高校の物理の教科書でよく見る形となる。 上記の積分の式は保存力$F(x)$は位置xに依存して変化する場合にも成り立つ。 Figure1には力学における代表的なエネルギー変化と仕事の関係を示している。
物体が持つエネルギーはそれぞれ行われた仕事の和となり位置エネルギー、運動エネルギー、ばねの弾性エネルギーを考えると エネルギー変化量は以下のように書き表す事ができる。
\begin{equation} \Delta E = \sum{w} = \frac{1}{2}m\Delta v^2 + mgh + \frac{1}{2}k\Delta x^2 \end{equation}エネルギー保存則 Conservation of Energy
力学的エネルギーの保存則を運動方程式から導こう。一般性を高くするためFigure2の様な系で考えてみよう。 位置$x$[m]にある質量$m$[kg]の物体に$F$[N]の保存力が働く時、運動方程式は、
\begin{equation} F = m\frac{d^2 x}{dt^2} \end{equation}と表される。この式の、両辺に速度$v=\frac{dx}{dt}$をかけ、時間に対して積分をする。
\begin{equation} (左辺) = \int_{t_1}^{t_2} F \frac{dx}{dt}dt = \int_{x_1}^{x_2} F dx \\ (右辺)= \int_{t_1}^{t_2} mv\frac{d v}{dt}dt = \int_{v_1}^{v_2} mvdv = \frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2) \\ \end{equation}ここで、時間が$t_1$から$t_2$まで変化する間に、物体の位置と速度はそれぞれ$x_1$から$x_2$、$v_1$から$v_2$まで変化している。 この物体に重力とバネの弾性力の両方が保存力として働く場合、保存力の合計は$F(x)=mg+kx$であり
\begin{equation} (左辺) = \int_{x_1}^{x_2} F dx = \int_{h_1}^{h_2} mg dh + \int_{X_1}^{X_2} kx dx = mg(h_2-h_1)+\frac{1}{2}k(X_2^2-X_1^2)\\ \end{equation}$h_1$と$h_2$、$X_1$と$X_2$はそれぞれ位置$x_1$と$x_2$における高さとバネの自然長からの伸びである。 ここまでで式を整理する。
\begin{equation} mg(h_2-h_1)+\frac{1}{2}k(X_2^2-X_1^2) = \frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)\\ \frac{1}{2}mv_1^2 + ( - mgh_1 - \frac{1}{2}kX_1^2) = \frac{1}{2}mv_2^2 + ( - mgh_2 - \frac{1}{2}kX_2^2) \end{equation}位置エネルギー変化$\Delta V$は$\Delta V = -\int_{x_1}^{x_2} F dx = V(x_2) - V(x_1)$であるので、 (5)式のカッコで括られた中身がそれぞれ位置$x_1$と$x_2$での位置エネルギー$V(x_1)$と$V(x_2)$に相当する。
\begin{equation} \frac{1}{2}mv_1^2 + V(x_1) = \frac{1}{2}mv_2^2 + V(x_2) \end{equation}(6)式より、始状態と終状態で力学的エネルギーの総和が等しく、力学的エネルギーの保存則が示された。
ここでは力学的エネルギーにおけるエネルギーの保存則を示したが、エネルギーは力学的エネルギーだけでなく、 電気的エネルギー、化学エネルギー、原子力エネルギーなど様々な形態を取り、そのそれぞれでエネルギーの保存が成り立つ。 熱力学では熱と力学的エネルギーとを扱っていくがここでもエネルギー保存則が成り立つ。
0 件のコメント:
コメントを投稿